«Мы нашли, что Ramanujan на самом деле обнаружил поверхность K3 больше чем за 30 лет до того, как другие начали изучать поверхности K3, и их даже назвали», говорит Кен Оно, теоретик числа в Эмори. «Оказывается, что работа Рамануджэна ожидала глубокие структуры, которые стали фундаментальными объектами в арифметической геометрии, теории чисел и физике».Оно и его аспирант Сара Требэт-Ледер публикуют работу об этом новом понимании в журнале Research in Number Theory. Их статья также демонстрирует, как одна из формул Рамануджэна, связанных с числом такси, может раскрыть секреты овальных кривых.«Мы смогли повторить рекорд для нахождения определенных овальных кривых с неожиданным числом очков или решений, не делая никакого тяжелого подъема вообще», говорит Оно. «Формула Рамануджэна, которую он написал на своем смертном ложе в 1919, настолько изобретательна.
Это – как будто он оставил волшебный ключ для математиков будущего. Все, что мы должны были сделать, было, признают власть ключа и используют его, чтобы стимулировать решения в современном контексте».«Данная статья добавляет еще одну действительно красивую историю к списку захватывающих недавних открытий, включающих ноутбуки Рамануджэна», говорит Манджул Бхаргэва, теоретик числа в Принстонском университете. «Овальные кривые и поверхности K3 формируют важную следующую границу в математике, и Ramanujan дал замечательные примеры, иллюстрирующие некоторые их особенности, которые мы не знали прежде.
Он определил совершенно особую поверхность K3, которую мы можем использовать, чтобы понять определенную специальную семью овальных кривых. Эти новые примеры и понимание несомненно породят дальнейшую работу, которая возьмет математику вперед».
Ramanujan, математик в основном-самоучка, казалось, решил проблемы инстинктивно и заявил, что его формулы прибыли к нему в форме видений от индуистской богини. В разгар британского колониализма он уехал из своей родной Индии, чтобы стать протеже математика Г.Х.
Харди в Кембриджском Университете в Англии.К 1918 британский климат и нормирование военного времени плохо сказались на Ramanujan, который страдал от туберкулеза. Он кладет боль в клинике под Лондоном, когда Харди приехал.Желая ободрить Ramanujan, Харди сказал, что прибыл в такси номер 1729 и описал число «как скорее унылое».
К удивлению Харди Ramanujan расположился в постели и ответил, «Нет, Харди, это – очень интересное число! Это – самое маленькое количество, выразимое как сумма двух кубов двумя различными способами».Ramanujan, у которого был странный смысл для особенных свойств чисел, так или иначе знал, в том 1729 может быть представлен как 1 возведенный в куб + 12 возведенных в куб и 9 возведенных в куб + 10 возведенных в куб, и никакое меньшее положительное число не может быть написано двумя такими способами.Этот инцидент начал «Выносливое-Ramanujan число», или «число такси» в мир математики.
До настоящего времени только шесть чисел такси были обнаружены, которые разделяют свойства 1729. (Это самые маленькие числа, которые являются суммой кубов n различными способами. Для n=2 число – 1729.)Оригинальное такси номер 1729 является любимым тормозным намеком в телевизионных ситкомах Мэтта Гроенинга.
Число часто обнаруживается как внутренняя шутка в эпизодах «Футурамы» и «Симпсонов».Но как большая часть открытий Рамануджэна, 1729, оказалось, содержал скрытые смыслы, которые делают его намного больше, чем очаровательная математическая причуда.
«Это – элементарный пример того, как Рамануджэн ожидал теории», говорит Оно. «Просматривая его примечания, Вы можете видеть то, что, кажется, просто простая формула. Но если Вы выглядите ближе, Вы можете часто раскрывать намного более глубокие последствия, которые показывают истинные полномочия Рамануджэна».
Большая часть карьеры Оно сосредоточена на распутывании тайн Рамануджэна. В 2013, во время поездки в Англию, чтобы посетить теоретиков числа Эндрю Грэнвиля и Джона Коутса, Оно рылся в архиве Рамануджэна в Кембридже.
Он столкнулся со страницей формул, которые Рамануджэн написал спустя год после того, как он сначала указал на специальные качества номера 1729 Харди. К тому времени 32-летний Рамануджэн вернулся в Индии, но он все еще болел и около смерти.«От основания одной из коробок в архиве я вытащил одно из примечаний смертного ложа Рамануджэна», Оно вспоминает. «Страница упомянула 1729 наряду с некоторыми примечаниями об этом.
Эндрю и я поняли, что нашел бесконечно попадания для Последней Теоремы Ферма для экспоненты 3. Мы были потрясены этим, и на самом деле начали смеяться. Это было первым предупреждением, что Рамануджэн обнаружил что-то намного большее».Последняя Теорема Ферма – идея, что у определенных простых уравнений нет решений – сумма двух кубов никогда не может быть кубом.
Рамануджэн использовал овальную кривую – кубическое уравнение и две переменные, где самая большая степень равняется 3 – чтобы произвести бесконечно много решений, которые были почти встречными примерами к Последней Теореме Ферма.Овальные кривые изучались в течение тысяч лет, но только в течение прошлых 50 лет имеют заявления, найденный для них за пределами математики. Они важны, например, для интернет-систем криптографии, которые защищают информацию как номера банковских счетов.
Оно работал с поверхностями K3 прежде, и он также понял, что Ramanujan нашел поверхность K3, задолго до того, как их официально определил и назвал математик Андрэ Вейл в течение 1950-х. Вейл назвал их в честь трех алгебраических владельцев – Куммера, Kahler и Кодайра – и горы K2 в Кашмире.
Так же, как K2 – чрезвычайно трудная гора, чтобы подняться, процесс обобщения овальных кривых, чтобы найти, что поверхность K3 считают чрезвычайно трудной математической проблемой.Оно и Требэт-Ледер помещают все части в примечания Рамануджэна вместе, чтобы произвести текущую бумагу, освещая его находки и переводя их на современную структуру.«Рамануджэн использовал 1729 и овальные кривые, чтобы развивать формулы для поверхности K3», говорит Оно. «Математики сегодня все еще изо всех сил пытаются управлять и вычислить с поверхностями K3.
Таким образом, это стало главным удивлением, что у Рамануджэна была эта интуиция все время».Рамануджэн известен в Индии, и среди математиков во всем мире. Он может скоро стать более знакомым более широким зрителям через предстоящий фильм, «Человек, Который Знал Бесконечность», Pressman Films.
Оно служил математическим консультантом для фильма, который звезды Дев Патель как Рамануджэн и Джереми Айронс как Харди. (И Оно и Бхаргэва – ассоциированные продюсеры фильма.)«Жизнь и работа Рамануджэна – и большая человеческая история и большая математическая история», говорит Оно. «И я рад, что больше людей наконец собирается добраться, чтобы обладать им».